提起“π”，中國(guó)人都會(huì)想起六朝時(shí)期偉大的科學(xué)家祖沖之。但很多人并不知道，祖沖之出生在江蘇，去世于江蘇，一生絕大部分時(shí)間生活在江蘇。他的一生，包括推算圓周率在內(nèi)的諸多科學(xué)成就都是在江蘇取得的。

祖沖之將圓周率的推算結(jié)果精確到了小數(shù)點(diǎn)后7位。這個(gè)紀(jì)錄在世界上保持了近千年的時(shí)間。

從“周三徑一”到割圓術(shù)

圓，是一種普遍存在的圖形，遍布于人類(lèi)生活的各個(gè)方面。人類(lèi)對(duì)于圓的探索與思考自然而然地延伸到了對(duì)圓周率的研究上。圓周率，即圓的周長(zhǎng)和直徑的比值。它是一個(gè)神秘莫測(cè)的無(wú)理數(shù)，具有無(wú)窮無(wú)盡的小數(shù)。直到今日，人類(lèi)仍然對(duì)它進(jìn)行著不斷的探索。圓周率的推算，見(jiàn)證了我國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展，也印證著我國(guó)古代數(shù)學(xué)的輝煌。

根據(jù)現(xiàn)有記載，我國(guó)圓周率的推算最早可以追溯到《周髀算經(jīng)》一書(shū)?！吨荀滤憬?jīng)》約成書(shū)于公元前1世紀(jì)，那時(shí)書(shū)中已經(jīng)提出了“周三徑一”的說(shuō)法，即圓的周長(zhǎng)是直徑三倍。但《周髀算經(jīng)》一書(shū)中并沒(méi)有給出“周三徑一”說(shuō)法明確的理論依據(jù)。當(dāng)時(shí)，圓周率只是一個(gè)粗略的數(shù)值，是人們?cè)趯?duì)田畝的測(cè)量中發(fā)展的經(jīng)驗(yàn)性認(rèn)識(shí)。這種說(shuō)法體現(xiàn)了中國(guó)古人對(duì)圓周率的初步探索。

北京教育學(xué)院歷史系主任方美玲認(rèn)為：“太陽(yáng)、月亮等天體是沿著橢圓軌道運(yùn)轉(zhuǎn)的，圓周率的準(zhǔn)確計(jì)算對(duì)把握這些天體的運(yùn)行規(guī)律從而精確歷法有決定性作用。”隨著社會(huì)的發(fā)展，“周三徑一”逐漸不能滿足精確歷法的需求。公元1世紀(jì)，西漢學(xué)者劉歆打造了更為精準(zhǔn)的圓周率測(cè)量工具--律嘉量斛。劉歆是第一個(gè)打破自古沿用的“周三徑一”，去追求更精確圓周率數(shù)值的人。他把圓周率的數(shù)值精確到了3.1547，世稱歆率。

從“周三徑一”到歆率，不難看出當(dāng)時(shí)人們對(duì)圓周率的計(jì)算還停留在實(shí)測(cè)中，缺少理論方面的計(jì)算。這一局面直到東漢時(shí)期數(shù)學(xué)家張衡的出現(xiàn)才被打破。張衡從圓與它的外切正方形關(guān)系入手計(jì)算圓周率。在《算罔論》和《靈憲》中都記載著張衡關(guān)于圓周率測(cè)算的方法。張衡的計(jì)算過(guò)程較為復(fù)雜，魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽對(duì)張衡的計(jì)算工作進(jìn)行介紹時(shí)，曾批判說(shuō)：“然增周太多，過(guò)其實(shí)矣。”但不可否認(rèn)的是，張衡開(kāi)辟了一個(gè)新的思路，為圓周率計(jì)算提供了一種理論方法。

劉徽對(duì)圓周率進(jìn)行了進(jìn)一步的探索，創(chuàng)造出了割圓術(shù)。在劉徽為《九章算術(shù)》所作的注中提到：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣。”簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是用圓內(nèi)接正多邊形去分割圓，通過(guò)不斷的分割使正多邊形的周長(zhǎng)接近圓的周長(zhǎng)。分割越多，就越精準(zhǔn)。劉徽的割圓術(shù)體現(xiàn)了一種極限思維，為圓周率的計(jì)算建立了相關(guān)理論和算法。

從《周髀算經(jīng)》到《九章算術(shù)注》，從“周三徑一”到割圓術(shù)，在古人不斷追求圓周率的精確計(jì)算之路上，我們可以看到中國(guó)古代數(shù)學(xué)的不斷進(jìn)步。經(jīng)驗(yàn)性認(rèn)識(shí)、測(cè)量工具的改進(jìn)、理論方面的計(jì)算、精準(zhǔn)科學(xué)方法的出現(xiàn)……圓周率計(jì)算方法的不斷進(jìn)步，推動(dòng)著我國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展。

將圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后7位

提起圓周率，我們現(xiàn)在想到的往往是3.1415926。早在公元480年，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之就計(jì)算出了這一數(shù)值。他將圓周率精確到了小數(shù)點(diǎn)后7位，并將這一數(shù)值界定在3.1415926和3.1415927之間。這一成果不僅在當(dāng)時(shí)是最精準(zhǔn)的數(shù)值，而且在往后近千年都無(wú)人超越。

關(guān)于祖沖之是如何計(jì)算出圓周率的，至今未有確切答案。祖沖之在《綴術(shù)》中介紹了求圓周率數(shù)值的方法，但可惜《綴術(shù)》在戰(zhàn)火中遺失，未能流傳至今。我們現(xiàn)在只能在《隋書(shū)·律歷志》中看到相關(guān)記載?！端鍟?shū)》中記載：“宋末，南徐州從事史祖沖之，更開(kāi)密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。”

在《隋書(shū)》中，雖然沒(méi)有記載祖沖之計(jì)算圓周率的具體方法，但記載了祖沖之計(jì)算圓周率的成果，并詳細(xì)描述了圓周率的區(qū)間、密率和約率。在聊城大學(xué)教授房元霞看來(lái)，如果這一結(jié)果是祖沖之用割圓術(shù)所計(jì)算，就需要對(duì)9位數(shù)字進(jìn)行130次以上的各種運(yùn)算，這無(wú)疑是一項(xiàng)大工程。這里就不得不提到祖沖之計(jì)算圓周率的主要工具--算籌。每一次圓周率的計(jì)算都是9位數(shù)的計(jì)算，使用算籌計(jì)算的難度十分大。盡管如此，祖沖之最后的計(jì)算結(jié)果誤差極小。張景中院士在《數(shù)學(xué)家的眼光》一書(shū)中指出，祖沖之圓周率的密率數(shù)值與π精確值的誤差不超過(guò)0.000000267。

祖沖之是南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)方面成就頗多。他的數(shù)學(xué)著作《綴術(shù)》雖然已經(jīng)遺失，但我們?nèi)阅軓钠渌涊d中窺得一兩分風(fēng)采?！端鍟?shū)》中評(píng)論：“學(xué)官莫能究其深?yuàn)W，故廢而不理?！碑?dāng)時(shí)的人們認(rèn)為《綴術(shù)》記載的數(shù)學(xué)理論十分的高深?yuàn)W秘，學(xué)問(wèn)高的人也很難看懂。

圓周率數(shù)值計(jì)算結(jié)果的不斷精確，反映著我國(guó)古代數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)思想和方法等方面的進(jìn)步。正是由于這些數(shù)學(xué)家們一代代進(jìn)行研究，我國(guó)古代數(shù)學(xué)才能領(lǐng)先于世界。

思想延伸到現(xiàn)代科研中

我國(guó)古代圓周率的計(jì)算方法包含著許多精妙的思想，至今仍影響著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展。在劉徽的割圓術(shù)中，割圓越多，內(nèi)接多邊形就越接近圓，測(cè)量的數(shù)據(jù)就越準(zhǔn)。這種極限思維不僅在當(dāng)時(shí)是一種令人驚嘆的創(chuàng)新思維，在當(dāng)下的數(shù)學(xué)研究中也起著重要作用。極限思維就是沒(méi)有窮盡的計(jì)算過(guò)程，現(xiàn)代的微積分、數(shù)值分析、復(fù)雜變量理論等數(shù)學(xué)研究中都運(yùn)用了極限思維。除此之外，在圓周率中發(fā)揮重要作用的幾何模型也在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展中占據(jù)重要地位。

北京大學(xué)科學(xué)與社會(huì)研究中心教授孫小禮認(rèn)為，祖沖之在圓周率方面的成就是與“搜煉古今”“咸加該驗(yàn)”和決不“虛推古人”的科學(xué)精神分不開(kāi)的，是與他艱苦卓絕的科學(xué)勞動(dòng)和堅(jiān)韌不拔的堅(jiān)強(qiáng)毅力分不開(kāi)的。在現(xiàn)今社會(huì)，創(chuàng)新發(fā)展需要“咸加該驗(yàn)”，要懷抱著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男膽B(tài)對(duì)待科研工作，進(jìn)行堅(jiān)持不懈的努力。

人類(lèi)對(duì)圓周率十分癡迷，至今仍在進(jìn)行小數(shù)點(diǎn)后的計(jì)算。運(yùn)用計(jì)算機(jī)技術(shù)，現(xiàn)代科研人員已經(jīng)可以將圓周率計(jì)算到萬(wàn)億位。目前圓周率的精確計(jì)算主要是為了對(duì)計(jì)算機(jī)進(jìn)行性能檢測(cè)，計(jì)算機(jī)得出的數(shù)值越精準(zhǔn)，說(shuō)明計(jì)算能力越強(qiáng)。圓周率日趨精準(zhǔn)，也體現(xiàn)著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步。

孫越、姚豆豆

歡迎掃碼關(guān)注深i科普！

我們將定期推出

公益、免費(fèi)、優(yōu)惠的科普活動(dòng)和科普好物！