本文系馮·諾伊曼誕辰120周年紀(jì)念文章的下篇。在上篇中，著名數(shù)學(xué)家烏拉姆主要介紹了馮·諾伊曼在數(shù)學(xué)，特別是數(shù)理邏輯、集合論、希爾伯特空間和算子理論等方面的工作；而在下篇中將介紹他在理論物理、博弈論、數(shù)值計(jì)算、計(jì)算機(jī)理論以及曼哈頓計(jì)劃中的貢獻(xiàn)。馮·諾伊曼在如此廣泛的領(lǐng)域進(jìn)行了深入的探索，不禁會(huì)讓人想問：他的研究是否有一條連續(xù)的脈絡(luò)？作為一名問題解決者，或許我們能從他對(duì)實(shí)際問題的處理上看到其更深遠(yuǎn)的目標(biāo)與理想，以及他為什么能成為現(xiàn)代計(jì)算機(jī)之父。

撰文 | 斯塔尼斯拉夫·烏拉姆（Stanis?aw Ulam）

翻譯 | 圓圓

理論物理

范·霍夫（Léon Van Hove）教授在《馮·諾伊曼對(duì)量子理論的貢獻(xiàn)》（Von Neumann's contributions to quantum theory）描述了他在理論物理方面的工作。

在之前提到的美國(guó)國(guó)家科學(xué)院的調(diào)查問卷中，馮·諾伊曼選擇了量子理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和遍歷定理作為他最重要的科學(xué)貢獻(xiàn) (以及前文討論的算子理論)。這種選擇，或者更確切地說(shuō)是限制，對(duì)大多數(shù)數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)可能很奇怪，但在心理學(xué)上卻很有趣。這似乎表明，也許他的主要愿望和最強(qiáng)烈的動(dòng)機(jī)之一是，重建數(shù)學(xué)在理論物理學(xué)概念層面（conceptual level）的作用。自第一次世界大戰(zhàn)結(jié)束以來(lái)，抽象數(shù)學(xué)研究和理論物理主流思想的分離是不可否認(rèn)的。馮·諾伊曼經(jīng)常表示擔(dān)心，數(shù)學(xué)可能無(wú)法跟上物理學(xué)中呈指數(shù)增長(zhǎng)的問題和思想。記得在一次談話中，我提出了擔(dān)憂：可能會(huì)出現(xiàn)某種馬爾薩斯1式的分歧——物理科學(xué)和技術(shù)以幾何級(jí)數(shù)增長(zhǎng)，而數(shù)學(xué)以算術(shù)級(jí)數(shù)增長(zhǎng)。他說(shuō)這確實(shí)可能會(huì)這樣。然而，在后來(lái)的討論中，我們都堅(jiān)持希望數(shù)學(xué)方法會(huì)在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)保持對(duì)精確科學(xué)的概念上的控制！

論文[7]2是馮·諾伊曼與希爾伯特以及諾德海姆（Lothar Nordheim）3合著的。根據(jù)其序言，它基于希爾伯特于1926年冬天關(guān)于量子理論新發(fā)展的演講，并在諾德海姆的幫助下完成。根據(jù)引言，這篇論文的重要數(shù)學(xué)部分和討論是馮·諾伊曼給出的。

本文的既定目的是引入概率關(guān)系，而不是經(jīng)典力學(xué)中嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系。它還以一種相當(dāng)簡(jiǎn)單和更易于理解的方式闡述了約爾當(dāng)和狄拉克的思想。即使在30年后的今天，馮·諾伊曼的這篇論文以及他在這方面的后續(xù)工作，其歷史重要性和影響也很難被高估。希爾伯特在公理化方面的偉大綱領(lǐng)在這里獲得了另一個(gè)重要的應(yīng)用，即物理理論與相應(yīng)數(shù)學(xué)系統(tǒng)之間的同構(gòu)（isomorphism）。論文引言中明確指出，如果理論的形式化和其物理解釋沒有簡(jiǎn)明扼要且完全地分開，人們就很難理解這個(gè)理論。這種分離即是本文的目的，盡管人們承認(rèn)在當(dāng)時(shí)不可能進(jìn)行完全的公理化。

我們可以在這里補(bǔ)充一點(diǎn)，相對(duì)論性不變量子理論的這種完全公理化，將其應(yīng)用于核現(xiàn)象仍有待實(shí)現(xiàn)。4這篇論文概述了對(duì)應(yīng)于物理可觀測(cè)量的算符演算，討論了厄米特算符的性質(zhì)——這些共同構(gòu)成了《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)原理》（Mathematische Begründung der Quantenrnechanik）一文的序言。

關(guān)于統(tǒng)計(jì)力學(xué)在量子理論中的作用和測(cè)量問題，馮·諾伊曼明確且精準(zhǔn)的想法見論文[10]5。他的名作《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》（Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik），給出了公理化處理、測(cè)量理論和統(tǒng)計(jì)學(xué)的詳細(xì)討論。

在量子力學(xué)史上，至少有兩項(xiàng)數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)是重要的：狄拉克的數(shù)學(xué)處理并不總是滿足數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的要求。例如，它假設(shè)每個(gè)自伴隨算符都可以被對(duì)角化，這迫使人們?yōu)槟切o(wú)法做到這一點(diǎn)的算符引入狄拉克著名的“反?！焙瘮?shù)。正如馮·諾伊曼所說(shuō)，先驗(yàn)地看來(lái)，就像牛頓力學(xué)（當(dāng)時(shí)）需要矛盾的無(wú)窮小演算一樣，量子理論似乎需要一種對(duì)無(wú)限多個(gè)變量進(jìn)行分析的新形式。馮·諾伊曼所取得的成果表明事實(shí)并非如此。也就是說(shuō)，變換理論（Transformation theory）可以建立在一個(gè)明確的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，不是細(xì)扣狄拉克的方法，而是通過發(fā)展希爾伯特的算子譜理論。特別是，這是通過他對(duì)無(wú)界算子的研究來(lái)實(shí)現(xiàn)的，超越了希爾伯特、里斯（Frigyes Riesz）和施密特等人的經(jīng)典理論。

第二份貢獻(xiàn)構(gòu)成了他書中第5章和第6章的重要內(nèi)容。它與量子理論中的測(cè)量和可逆性問題有關(guān)。幾乎從一開始，當(dāng)海森堡、薛定諤、狄拉克和玻恩的思想首次獲得轟動(dòng)性的成功時(shí)，人們就提出了關(guān)于非決定論在理論中的作用的問題，并提出建議：通過假設(shè)可能的“隱藏”參數(shù)（隱變量）來(lái)解釋這個(gè)問題，這些參數(shù)在未來(lái)被發(fā)現(xiàn)時(shí)，將回到更決定性的理論描述。馮·諾伊曼證明，該理論表述的統(tǒng)計(jì)特征并不是由于執(zhí)行測(cè)量的觀察者的狀態(tài)是未知的。被觀察者和觀察者組成的系統(tǒng)會(huì)導(dǎo)致不確定性關(guān)系，即使人們承認(rèn)觀察者的確切狀態(tài)。這被證明是先驗(yàn)假設(shè)的結(jié)果，該假設(shè)涉及物理量與希爾伯特空間中算子相關(guān)聯(lián)的一般性質(zhì)。6

這部著作以一種符合數(shù)學(xué)家氣質(zhì)且技術(shù)上有趣的形式呈現(xiàn)了新量子理論的思想，這絕對(duì)是第一重要的貢獻(xiàn)。因?yàn)樗噲D對(duì)物理學(xué)家最初構(gòu)思的理論——依靠并非人人理解的直覺——進(jìn)行理性呈現(xiàn)；此外它也有巨大的教學(xué)價(jià)值。雖然不能斷言這部著作能否為此后發(fā)現(xiàn)的更令人困惑的物理現(xiàn)象引入了新穎的物理思想，畢竟薛定諤、海森堡、狄拉克和其他人在那些年里構(gòu)建的量子理論仍然只是一個(gè)不完整的理論骨架，馮·諾伊曼至少為其嚴(yán)格處理提供了一個(gè)邏輯上和數(shù)學(xué)上明確的基礎(chǔ)。

分析、數(shù)值計(jì)算和流體動(dòng)力學(xué)

在早期的論文[33]7中，馮·諾伊曼通過簡(jiǎn)單的幾何構(gòu)造證明了變分法中Radó7的基本引理（此引理是說(shuō)：函數(shù)z=f(x, y)滿足常數(shù)為Δ的李普希茲條件，如果沒有最大傾角Δ大于的平面與由所給函數(shù)定義的曲面的邊界在三個(gè)或更多點(diǎn)相交。）這篇論文的有趣之處還在于其證明方法涉及到直接的幾何直觀（geometric visualizations），這在馮·諾伊曼的已發(fā)表作品中并不多見。

論文[41]9是過去四分之一世紀(jì)中數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域令人矚目的成就之一。它給出整個(gè)領(lǐng)域第一個(gè)精確的數(shù)學(xué)結(jié)果：嚴(yán)格處理統(tǒng)計(jì)力學(xué)中的遍歷假設(shè)。馮·諾伊曼受到了庫(kù)普曼（Bernard Koopman）10的啟發(fā)，后者曾發(fā)現(xiàn)有可能將哈密頓動(dòng)力系統(tǒng)的研究簡(jiǎn)化為希爾伯特空間中算子的研究。使用庫(kù)普曼的表示，馮·諾伊曼證明了現(xiàn)在所謂的弱遍歷定理，即測(cè)度空間上迭代的、保測(cè)度的變換的函數(shù)均值的依測(cè)度收斂。這一定理不久之后被伯克霍夫（G. D. Birkhoff）以幾乎處處收斂的形式加以強(qiáng)化，為經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)提供了第一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。該領(lǐng)域的后續(xù)發(fā)展以及這些結(jié)果的很多推廣已眾所周知，在此不再贅述。同樣，這種成功歸于馮·諾伊曼對(duì)集合論中受分析方法啟發(fā)的技巧的精通，并融合了其在希爾特空間算子方面的獨(dú)創(chuàng)工作。

數(shù)學(xué)物理的另一個(gè)領(lǐng)域也能夠在普遍意義上用現(xiàn)代分析精確地研究。在這個(gè)例子中，一開始同樣取得了巨大進(jìn)展，但是當(dāng)然，這個(gè)故事還沒有結(jié)束；就經(jīng)典動(dòng)力學(xué)而言，對(duì)統(tǒng)計(jì)力學(xué)基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)處理還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠！擁有遍歷定理和度量可傳遞變換（metrically transitive transformations）11存在性的知識(shí)是非常好的，但這些事實(shí)只是該主題的基礎(chǔ)。馮·諾伊曼經(jīng)常在談話中表達(dá)這樣一種感覺，即這一領(lǐng)域未來(lái)的進(jìn)展將取決于這樣的定理——將在數(shù)學(xué)上對(duì)該學(xué)科后續(xù)部分進(jìn)行令人滿意的處理。玻爾茲曼方程需要一個(gè)完整的數(shù)學(xué)理論，而系統(tǒng)趨于平衡時(shí)的速率需要精確的定理。

馮·諾伊曼的論文[86]14，也許不如它應(yīng)有的那么出名，它顯示出馮·諾伊曼對(duì)近似問題和數(shù)值工作越來(lái)越感興趣。在我看來(lái)，它具有非常可觀的教學(xué)價(jià)值。他研究了當(dāng)N很大時(shí)，有限個(gè)N×N矩陣的性質(zhì)，以及N維復(fù)歐幾里得空間上所有線性運(yùn)算所構(gòu)成的空間的行為。文章直截了當(dāng)，并且在前言中明確指出，與通常的方法相比，這種研究極限情況（即無(wú)限維酉空間，就是希爾伯特空間）的漸近方法被無(wú)端地忽略了。（這種說(shuō)法與他在《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》一書的引言中表達(dá)的觀點(diǎn)幾乎相反，這是很奇怪的。）

概括來(lái)說(shuō)，這篇論文討論如下問題：哪些N階矩陣的行為或近似行為表現(xiàn)得如同m階矩陣，（這里m與N相比很小，而且是N的一個(gè)因子）。近似行為的概念在矩陣空間中的給定度量或偽度量下變得精確。我想補(bǔ)充一點(diǎn)，這篇論文的基本論述特征值得稱贊，而這并非總能體現(xiàn)在他對(duì)希爾伯特空間的研究中。

在與巴格曼（Valentine Bargmann）和蒙哥馬利（Deane Montgomery）合作論文[91]15，馮·諾伊曼的思想延續(xù)下來(lái)。文章包含了求解線性方程組的各種方法，并且從中能看出馮·諾伊曼已經(jīng)開始考慮用當(dāng)時(shí)已出現(xiàn)的電子機(jī)器進(jìn)行運(yùn)算的可能性。

對(duì)于應(yīng)用分析問題，戰(zhàn)爭(zhēng)年代產(chǎn)生了對(duì)快速估算和近似結(jié)果的需求，這些問題往往不會(huì)那么“干凈”。也就是說(shuō)，在數(shù)學(xué)上是“非齊次的”，除了要計(jì)算的物理現(xiàn)象的主要過程之外，還涉及許多外部擾動(dòng)，其影響在附加變量中不能被忽視甚至不能被分離。這種情況經(jīng)常出現(xiàn)在當(dāng)今的技術(shù)問題中，迫使人們至少在最初階段采用數(shù)值方法，這樣做并不是因?yàn)槿藗冃枰呔鹊慕Y(jié)果，而只是為了實(shí)現(xiàn)定性分析！那時(shí)馮·諾伊曼對(duì)數(shù)值分析的興趣大大增加，他意識(shí)到了這個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)純粹主義者來(lái)說(shuō)可能有些可悲的事實(shí)。

與戈德斯坦（H. H. Goldstine）合寫的文章[94]16中，他們研究了高階矩陣的數(shù)值反演問題，還試圖給出嚴(yán)格的誤差估計(jì)，在反演~150階矩陣可實(shí)現(xiàn)的精度上獲得了有趣的結(jié)果。估計(jì)值是“在一般情形下”獲得的。（“一般”意味著在可信假設(shè)統(tǒng)計(jì)下，除了一組低概率集合，這些估計(jì)成立。）

由于需要快速定位和回答數(shù)學(xué)物理和工程中的問題，快速電子計(jì)算機(jī)發(fā)展起來(lái)。作為其副產(chǎn)品，人們有機(jī)會(huì)進(jìn)行一些更好玩的工作！在一定程度上滿足人們對(duì)某些有趣整數(shù)序列的好奇心。一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子是，在e和π的（無(wú)限不循環(huán)）小數(shù)點(diǎn)后幾萬(wàn)位內(nèi)某數(shù)字序列出現(xiàn)的頻率。人們?cè)诟叩妊芯吭旱臋C(jī)器上進(jìn)行了一次這樣的計(jì)算，給出了2的立方根作其連分式展開中前2000個(gè)部分商（partial quotients）。無(wú)論問題多么簡(jiǎn)單, 約翰尼都對(duì)這樣的實(shí)驗(yàn)工作很感興趣。在洛斯阿拉莫斯關(guān)于這些問題的一次討論中，他要求給出“有趣”的數(shù)字來(lái)計(jì)算它們的連分?jǐn)?shù)展式。我給出了一個(gè)四次無(wú)理量y，它由方程 y=1/(x+y)給出，其中x=1/(1+x)，在它的展式中可能出現(xiàn)一些奇怪的規(guī)律。人們計(jì)劃計(jì)算許多其他數(shù)字，但我不知道這個(gè)小項(xiàng)目是否真被實(shí)施過。

博弈論

博弈論成為了如今數(shù)學(xué)領(lǐng)域快速發(fā)展的新篇章，它本質(zhì)上是馮·諾伊曼開創(chuàng)的。在發(fā)表本文的同期雜志上，A. W. Tucker和H. W. Kuhn的文章18將會(huì)介紹他在這一領(lǐng)域的基礎(chǔ)工作?！蔽抑幌胝f(shuō)，這些研究反映了他最為豐富、最有影響的工作。

1921年，博雷爾（émile Borel）在Comptes-Rendus的一篇注記中，首次提出兩個(gè)游戲玩家博弈策略的數(shù)學(xué)方案。而這門學(xué)科的真正建立，被認(rèn)為是源于馮·諾伊曼的論文[17]19。正是這篇文章中，馮·諾伊曼證明了基本的“極大極小”（minimax）定理，并制定了n個(gè)玩家（n≥2）之間博弈的一般方案。這些方案，除了對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域中實(shí)際博弈的意義和應(yīng)用之外，還產(chǎn)生了大量具有純粹數(shù)學(xué)意義上新穎的組合問題。Min Max = Max Min 的定理，以及關(guān)于多變量函數(shù)的鞍點(diǎn)的存在性推論，都包含在他1937年的論文[72]20中。它們被證明是布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理和以下幾何事實(shí)的推廣的結(jié)果：設(shè) S、T 是兩個(gè)分別包含

個(gè)閉子集；假設(shè)對(duì)于 S 的每個(gè)元素x，集合Q(x)={y:(x, y)∈V}是非空的凸閉集；類似地，對(duì)于T中的每個(gè)元素y，集合是P(y)={x:(x, y)∈W}非空的凸閉集，那么集合V, W至少有一個(gè)公共點(diǎn)。這個(gè)定理，后來(lái)被角谷靜夫（Shizuo Kakutani）、納什（John Nash）、布朗（George W. Brown）和其他人進(jìn)一步討論，它在證明“好策略”的存在性方面發(fā)揮著核心作用。

博弈論，包括現(xiàn)在對(duì)無(wú)限博弈的研究（瑪祖爾（Stanis?aw Mazur）于1930年左右在波蘭首次提出）正繁榮發(fā)展。只要參考三卷《對(duì)博弈論的貢獻(xiàn)》（Contributions to Game Theory）[102;113;114]21中包含的工作，就足夠說(shuō)明這一領(lǐng)域思想的豐富性——純數(shù)學(xué)意義下的各種巧妙表述以及日益增多的重要應(yīng)用；這里還有非常多陳述簡(jiǎn)單卻尚未解決的問題。

經(jīng)濟(jì)學(xué)

奧斯卡·摩根斯特恩（Oskar Morgenstern）和約翰·馮·諾伊曼（John von Neumann）的經(jīng)典論文《博弈論與經(jīng)濟(jì)行為論》（Theory of Games and Economic Behavior）[90]22以純數(shù)學(xué)形式對(duì)博弈論進(jìn)行了闡述，并非常詳細(xì)地描述了其在實(shí)際博弈中的應(yīng)用；并結(jié)合對(duì)經(jīng)濟(jì)理論的一些基本問題的討論，引入了對(duì)經(jīng)濟(jì)行為和某些社會(huì)學(xué)問題的不同處理方法。經(jīng)濟(jì)學(xué)家奧斯卡·摩根斯特恩是馮·諾伊曼在普林斯頓多年的朋友，他對(duì)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)的各個(gè)方面感興趣，特別是兩人及兩人以上人之間的商品交換問題，壟斷、寡頭壟斷和自由競(jìng)爭(zhēng)的問題。正是在嘗試討論這些過程的數(shù)學(xué)化中，這一理論開始形成了現(xiàn)在的雛形。

目前在“運(yùn)籌學(xué)”、通信問題以及沃德（Abraham Wald）23的統(tǒng)計(jì)估計(jì)理論中的眾多應(yīng)用，要么源于或正在借鑒這本專著中提出的觀點(diǎn)或構(gòu)思方案。我們甚至無(wú)法在本文中概述這些調(diào)查的范圍。有興趣的讀者可以在赫維克茲（Leonid Hurwicz）24的著作《經(jīng)濟(jì)行為理論》（The theory of economic behavior）25和馬爾沙克（Jacob Marshak）26的著作《諾伊曼和摩根斯坦的靜態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)新方法》（Neumann's and Morgenstern's new approach to static economics）27中找對(duì)那些問題的描述。

動(dòng)力學(xué)、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)與氣象計(jì)算

在與錢德拉塞卡（S. Chandrasekhar）共同撰寫的兩篇論文[84和88]28中，他們考慮了以下問題：假定質(zhì)量中心隨機(jī)分布，比如在星團(tuán)中的很多恒星或一團(tuán)星云，這些大質(zhì)量物質(zhì)在運(yùn)動(dòng)且相互吸引。問題在于探究引力場(chǎng)漲落的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，并研究受不同局部分布變化影響的單個(gè)質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)。在第一篇論文中，他們通過巧妙的計(jì)算解決了引力的分布函數(shù)漲落速率的問題，并得到概率分布W（F, ?）的一般公式，其中F為引力場(chǎng)強(qiáng)度，相關(guān)的變化率?是F關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。得到的結(jié)果包括如下定理：對(duì)于弱場(chǎng)，在給定時(shí)刻產(chǎn)生作用的場(chǎng)發(fā)生變化的概率與初始場(chǎng)的方向和大小無(wú)關(guān)；而對(duì)于強(qiáng)場(chǎng)，在初始場(chǎng)的方向上發(fā)生變化的概率，是在其垂直方向上發(fā)生變化概率的兩倍。

第二篇論文致力于統(tǒng)計(jì)分析作用于恒星每單位質(zhì)量的引力的漲落速度，恒星以速度V相對(duì)于臨近恒星做形心運(yùn)動(dòng)。這個(gè)問題是在恒星以一致泊松分布且局部速度呈球形分布的假設(shè)下解決的；他們也對(duì)不同質(zhì)量的一般分布作了解答，給出作用于兩個(gè)非常接近點(diǎn)的引力相關(guān)的表達(dá)式。該方法給出了空間相關(guān)性的漸近行為。

馮·諾伊曼長(zhǎng)期以來(lái)對(duì)湍流現(xiàn)象感興趣。我還記得1937年關(guān)于對(duì)納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理的可能性的討論，通過用無(wú)窮多個(gè)全微分方程替代這些偏微分方程，從而對(duì)流體力學(xué)進(jìn)行分析；而拉格朗日函數(shù)的傅里葉展開式中的傅里葉系數(shù)滿足這些全微分方程。馮·諾伊曼于1949年為海軍研究辦公室（Office of Naval Research）撰寫的一份油印報(bào)告《湍流的近期理論》（Recent theory of turbules），對(duì)昂薩格爾（Lars Onsager）和柯爾莫哥洛夫（Andrey Kolmogoroff）的思想以及當(dāng)時(shí)的其他工作進(jìn)行了深刻而清晰的介紹。

隨著第二次世界大戰(zhàn)的開始，馮·諾伊曼對(duì)可壓縮氣體運(yùn)動(dòng)所帶來(lái)的問題進(jìn)行了研究，特別是因其不連續(xù)性變化形成的令人困惑現(xiàn)象，例如沖擊波（shocks）。

他在這一領(lǐng)域所做的大量研究，很大程度上是為了解決國(guó)防工作中出現(xiàn)的問題。它們以報(bào)告的形式發(fā)表，其中一些列在在附錄中。（編者注：請(qǐng)參見原文。）

本文無(wú)法概括他在這一領(lǐng)域如此豐富多樣的工作，其中大部分作品都能反映出其銳利的分析技巧和慣常清晰的邏輯。在碰撞沖擊相互作用的理論中，他的貢獻(xiàn)尤其值得注意。一個(gè)成果是，他給出關(guān)于爆炸過程的Chapman-Jouguet假說(shuō)（即由沖擊引發(fā)的燃燒過程）的第一個(gè)嚴(yán)格論證。

關(guān)于沖擊波反射理論的第一個(gè)系統(tǒng)研究也出于馮·諾伊曼（Progress report on the theory of shock wave, NDRC, Div.' 8, OSRD, No. 1140, 1943 ；Oblique reflection of shocks, Navy Department, Explosive Research Report no. 12, 1943）。

如前所述，即使只是在定性分析二維或三維中可壓縮介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)，就已經(jīng)超過了目前顯示分析（explicit analysis）的能力。更糟糕的是，描述這類物理現(xiàn)象的理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，也許到目前為止，還沒有建立起來(lái)。馮·諾伊曼的觀點(diǎn)在 [108]29的評(píng)論中得到了很好的表達(dá)：

“關(guān)于人們通過數(shù)學(xué)推理找到的解是否真的發(fā)生在自然界中，以及是否可以事先排除某些具有好的或壞的特征的解的存在，這是一個(gè)相當(dāng)困難且模糊的問題。古典文獻(xiàn)和最近的文獻(xiàn)都對(duì)這一問題進(jìn)行了研究，但它們的嚴(yán)格性存在很大差異上，甚至在粗糙程度上也是如此。總而言之，在這一領(lǐng)域，要確定任何事情都十分困難。從數(shù)學(xué)上講，我們處于連續(xù)的不確定性狀態(tài)，因?yàn)槲覀兿胍玫浇獯嬖谛院臀ㄒ恍缘囊话愣ɡ韽奈幢蛔C明，并且其表面形式很可能是不正確的?！?/p>

接著，他又寫道：

“因此，在允許不連續(xù)性、要求合理的熱力學(xué)行為等條件下，流體力學(xué)中存在各種各樣的數(shù)學(xué)可能性?？赡艽嬖谝唤M條件，在這種條件下，每個(gè)合理陳述的問題存在一個(gè)且只有一個(gè)解。然而，對(duì)于它是什么，我們只能猜測(cè)；在尋找它的過程中，我們幾乎完全依賴物理直覺。因此，我們不可能對(duì)任何一點(diǎn)了解得非常明確。并且對(duì)于任何已經(jīng)得到的解，無(wú)論有多少把握，我們都很難說(shuō)它就是在自然界中必定存在的解?！?/p>

如果只是為了對(duì)這些難題有啟發(fā)式的見解，人們必須訴諸于特殊條件下的數(shù)值工作。在一系列報(bào)告中，馮·諾伊曼討論了最佳數(shù)值過程、差分格式，以及計(jì)算方案的數(shù)值穩(wěn)定性等問題。人們應(yīng)該特別提到他與克特邁耶（Robert D. Richtmyer）合作的論文[100]30，文章為了不具體地涉及沖擊條件和不連續(xù)性，他們引入了一個(gè)純數(shù)學(xué)的虛構(gòu)的粘度，這就可以在不必明確假設(shè)沖擊運(yùn)動(dòng)的情況下，遵循普通的流體動(dòng)力學(xué)方程，一步一步地計(jì)算沖擊的運(yùn)動(dòng)。

關(guān)于地球大氣層運(yùn)動(dòng)的流體動(dòng)力學(xué)方程提出的令人生畏的數(shù)學(xué)問題，在相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)讓馮·諾伊曼著迷。隨著計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，至少對(duì)問題的簡(jiǎn)化版本進(jìn)行詳細(xì)的數(shù)值研究成為可能，并且他開始了一項(xiàng)龐大的計(jì)劃。普林斯頓高等研究院成立了一個(gè)氣象研究小組31；該小組的計(jì)劃是，通過越來(lái)越接近大氣真實(shí)性質(zhì)的模型，逐步求解數(shù)值天氣問題。目前，即使在最先進(jìn)的電子計(jì)算機(jī)上，對(duì)真正的三維運(yùn)動(dòng)進(jìn)行數(shù)值研究也是不切實(shí)際的。（事實(shí)可能并非如此，比如五年后。編者注：本文寫于1958年。）

馮·諾伊曼發(fā)起的第一個(gè)高度模式化的計(jì)算，用于處理二維模型，并且大部分是所謂地轉(zhuǎn)近似（geostrophic approximation）情況。后來(lái)，通過假設(shè)兩個(gè)或三個(gè)二維模型以對(duì)應(yīng)于不同海拔高度或壓力水平的相互作用，可以執(zhí)行所謂的“2 + 1/2”維流體動(dòng)力學(xué)計(jì)算。這個(gè)問題在他的腦海中非常重要，不僅因?yàn)樗哂械膬?nèi)在數(shù)學(xué)興趣，還因?yàn)榈玫匠晒Φ慕鉀Q方案可能會(huì)產(chǎn)生巨大的技術(shù)影響。他認(rèn)為，隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，以及我們對(duì)控制大氣過程的動(dòng)力學(xué)的了解，我們正在接近實(shí)現(xiàn)天氣預(yù)報(bào)的水平。他還相信，人們能夠理解、計(jì)算，也許可以最終實(shí)現(xiàn)控制和改變氣候的過程。

在論文[120]32中，他推測(cè)在不久的將來(lái)，人們可以利用現(xiàn)有的巨大核能資源，產(chǎn)生與“偉大地球本身”33相同量級(jí)的大氣環(huán)流變化。在已經(jīng)了理解物理現(xiàn)象的這些問題中，未來(lái)的數(shù)學(xué)分析可能會(huì)使人類能夠極大地?cái)U(kuò)展控制自然的能力。

電子計(jì)算機(jī)理論與實(shí)踐、蒙特卡羅方法

馮·諾伊曼對(duì)數(shù)值工作的興趣有不同的來(lái)源。一方面源于他最初關(guān)于形式主義在數(shù)理邏輯和集合論中的作用的工作，他年輕時(shí)的工作廣泛涉及希爾伯特將數(shù)學(xué)視為有限游戲的綱領(lǐng)。另一個(gè)同樣強(qiáng)大的動(dòng)機(jī)來(lái)自他在數(shù)學(xué)物理問題方面的工作，包括經(jīng)典物理學(xué)中遍歷理論的純理論性研究以及他對(duì)量子理論的貢獻(xiàn)。隨著流體力學(xué)和核能技術(shù)中出現(xiàn)的各類連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，所反映出的實(shí)際問題越來(lái)越多，這些直接變成了計(jì)算問題。

我們已經(jīng)簡(jiǎn)要討論了馮·諾伊曼對(duì)湍流問題、連續(xù)介質(zhì)的一般動(dòng)力學(xué)和氣象計(jì)算的興趣。我很清楚地記得，在洛斯阿拉莫斯項(xiàng)目的早期，顯然僅靠分析工作往往不足以提供哪怕是定性的答案。對(duì)于很多問題，手工進(jìn)行數(shù)值工作，甚至使用臺(tái)式計(jì)算器，都需要長(zhǎng)到不能接受的時(shí)間才能解決。這種情況似乎成為馮·諾伊曼的最終動(dòng)力，促使他干勁十足地投入到利用電子設(shè)備進(jìn)行計(jì)算的研究中。

幾年來(lái)，馮·諾伊曼一直認(rèn)為，在許多流體力學(xué)問題中——在沖擊波的行為和傳播方面，以及非線性偏微分方程所描述的現(xiàn)象涉及大位移的情況下（也就是說(shuō)，線性化不足以接近真實(shí)描述），數(shù)值工作是必要的，以便為未來(lái)的理論提供啟發(fā)式材料。

這種終極的必要性迫使他從基礎(chǔ)上研究電子機(jī)器的計(jì)算問題，并且在1944年和1945年期間，他制定了現(xiàn)在所用的基本方法——將一組數(shù)學(xué)過程轉(zhuǎn)換為計(jì)算機(jī)的指令語(yǔ)言。當(dāng)時(shí)的電子計(jì)算機(jī)（例如ENIAC34）缺乏現(xiàn)在處理數(shù)學(xué)問題時(shí)所具有的靈活性和通用性。從廣義上講，每個(gè)問題都需要一個(gè)特殊且不同的布線系統(tǒng)，以使機(jī)器能夠按給定的順序執(zhí)行規(guī)定的操作。馮·諾伊曼的巨大貢獻(xiàn)在于，他提出了“流程圖”（flow diagram）和“代碼”（code）的概念：前者讓機(jī)器的連接或電路固定但相當(dāng)通用；后者能讓這組固定連接能夠解決各種問題。雖然可以事后諸葛地說(shuō)，提出這種布置的可能性對(duì)數(shù)理邏輯學(xué)家來(lái)說(shuō)可能是顯而易見的，但以當(dāng)時(shí)的電子技術(shù)，要實(shí)現(xiàn)并執(zhí)行這種通用方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有那么容易。

即使在這些方法問世十年后的今天，人們也很容易低估從數(shù)學(xué)物理問題中誕生的這種理論試驗(yàn)所能開辟的巨大可能性。這個(gè)領(lǐng)域仍然很新，做出預(yù)言似乎有風(fēng)險(xiǎn)，但是在流體力學(xué)、磁流體力學(xué)和量子理論計(jì)算等許多方面，（我們）已經(jīng)積累了大量的理論實(shí)驗(yàn)，因此我們可以期待從這些計(jì)算中得到滿意的綜合理論。

計(jì)算機(jī)的工程設(shè)計(jì)在很大程度上歸功于馮·諾伊曼。機(jī)器的邏輯模式、內(nèi)存的相對(duì)作用、運(yùn)行速度、基本“命令”的選擇以及當(dāng)前機(jī)器中的電路，都深深帶有他思想的烙印。馮·諾伊曼親自監(jiān)督普林斯頓高等研究院電子計(jì)算機(jī)的建造，以便熟悉所涉及的工程問題，同時(shí)掌握這種用于新實(shí)驗(yàn)的工具。甚至在機(jī)器竣工之前（花費(fèi)的時(shí)間比預(yù)期的要長(zhǎng)），他就將洛斯阿拉莫斯實(shí)驗(yàn)室的某些問題設(shè)置在機(jī)器上，執(zhí)行了大量計(jì)算。其中之一是關(guān)于熱核反應(yīng)過程的問題，涉及超過十億的基本算術(shù)運(yùn)算和基本邏輯命令。這個(gè)問題其實(shí)是要對(duì)反應(yīng)傳播問題給出“是”或“否”的答案。人們并不關(guān)心最終數(shù)據(jù)是否非常精準(zhǔn)，但是為了獲得原始問題的答案，所有中間的和詳細(xì)的計(jì)算似乎都是必要的。的確，對(duì)問題的某些要素的行為進(jìn)行猜測(cè)，再加上手工計(jì)算，可以對(duì)揭示最終答案起到相當(dāng)大的作用。為了提高這種通過直覺而獲得的估計(jì)的置信度，人們必須進(jìn)行大量的計(jì)算工作。而這種情況在解決數(shù)學(xué)物理和現(xiàn)代技術(shù)的某些新問題中，似乎相當(dāng)普遍。描述這些現(xiàn)象時(shí)，我們不需要天文精度；而在某些情況下，如果對(duì)行為的預(yù)測(cè)精度“高達(dá)10%”，人們就會(huì)非常滿意。但在計(jì)算過程中，各個(gè)步驟必須盡可能準(zhǔn)確。數(shù)量巨大的基本步驟帶來(lái)了估計(jì)最終結(jié)果的可靠性問題，以及數(shù)學(xué)方法及其計(jì)算執(zhí)行過程中的內(nèi)在穩(wěn)定性的問題。

在馮·諾伊曼獲得原子能委員會(huì)的費(fèi)米獎(jiǎng)時(shí)，（委員會(huì)）特別指出其在發(fā)展電子機(jī)器上進(jìn)行計(jì)算的貢獻(xiàn)，這些貢獻(xiàn)在核科學(xué)和技術(shù)的許多方面都很有用。

電子計(jì)算機(jī)的計(jì)算速度超過了手工計(jì)算的數(shù)千倍，這催生出很多全新方法——不僅在經(jīng)典意義上的數(shù)值分析方面，對(duì)于數(shù)學(xué)分析本身的過程的基礎(chǔ)原理也是如此。沒有人比馮·諾伊曼更清楚這里的含意。

我們可舉一個(gè)小例子，用所謂的蒙特卡洛方法來(lái)說(shuō)明。過去為手工計(jì)算甚至是為繼電器開發(fā)出的數(shù)值分析方法，對(duì)于電子計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)，并不一定是最優(yōu)的。比如，直接計(jì)算所需的值顯然比使用初等函數(shù)表更經(jīng)濟(jì)。其次，對(duì)于需要化簡(jiǎn)積分方程來(lái)求積分之類的問題，現(xiàn)在完全可以通過一些非常復(fù)雜的算法求解，這些算法甚至無(wú)法用手工實(shí)現(xiàn)，但對(duì)于新機(jī)器完全可行。

馮·諾伊曼在二戰(zhàn)后的幾年里發(fā)明了幾十種計(jì)算技巧，比如“子程序”（subroutines），用于計(jì)算基本代數(shù)函數(shù)或超越函數(shù)；求解輔助方程，等等。順便說(shuō)一句，其中一些工作尚未被數(shù)學(xué)界普遍知曉，而工業(yè)界或政府項(xiàng)目中使用計(jì)算機(jī)的科研人員卻非常熟悉。這項(xiàng)工作包括，求矩陣的特征值和逆矩陣的方法；搜索多變量函數(shù)極值的簡(jiǎn)潔方法；以及隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生等。很多工作顯示了他在數(shù)理邏輯和算子理論的早期工作中所具有的典型的組合靈巧性，有些甚至可用技藝精湛形容。

19世紀(jì)人們所希望的數(shù)學(xué)物理原理的數(shù)學(xué)表述的簡(jiǎn)潔性，在現(xiàn)代理論中似乎明顯缺失了。人們發(fā)現(xiàn)了基本粒子中令人困惑的多樣性和豐富的結(jié)構(gòu)，這似乎推遲了早期數(shù)學(xué)成為整體的希望。在應(yīng)用物理學(xué)和技術(shù)問題中，人們不得不處理在數(shù)學(xué)上呈現(xiàn)不同系統(tǒng)混合的情況：例如，粒子系統(tǒng)除了本身行為受力學(xué)方程控制，還有由偏微分方程描述的相互作用的電場(chǎng)；或者在產(chǎn)生中子過程的研究中，除了中子系統(tǒng)之外，還要考慮從這些粒子分離出的其他物質(zhì)與整個(gè)系統(tǒng)相互作用的流體力學(xué)和熱力學(xué)性質(zhì)。

僅從組合學(xué)的角度來(lái)看，且不用說(shuō)在處理偏微分和積分方程時(shí)的解析困難，很明顯目前找到閉合解（Closed-Form Solution35）希望渺茫。因此為了探究這些系統(tǒng)的性質(zhì)，即使只是定性理解，人們被迫尋去找實(shí)際能用的方法。

我們決定尋找這樣的方法，大致來(lái)說(shuō)就是在數(shù)學(xué)模式中找到給定物理問題的同態(tài)象（homomorphic image），該模式可以由電子計(jì)算機(jī)處理的虛構(gòu)“粒子”系統(tǒng)表示。特別是在涉及大量獨(dú)立變量的函數(shù)問題中，這種方法有用武之地。為了給出這種蒙特卡洛方法的一個(gè)非常簡(jiǎn)單的具體例子，我們考慮由一組不等式描述的給定n維“立方體”的子區(qū)域的體積估值問題。一般做法是將空間系統(tǒng)地分割為格點(diǎn)來(lái)近似所需的體積，而這種方法是可以以均勻的概率隨機(jī)地選擇空間中一些點(diǎn)，并（在機(jī)器上）確定這些點(diǎn)中有多少屬于給定區(qū)域。根據(jù)概率論的基本事實(shí)，只要采用足夠數(shù)量的樣本點(diǎn)，這個(gè)比例就會(huì)按我們所希望概率接近為1，從而給出相對(duì)體積的近似值。

還有一個(gè)稍微復(fù)雜的例子：考慮由一個(gè)曲面包圍的空間區(qū)域中的擴(kuò)散問題，擴(kuò)散粒子在曲面上會(huì)被部分反射、部分吸收；如果該區(qū)域的幾何結(jié)構(gòu)很復(fù)雜，那么嘗試執(zhí)行大量“物理地”隨機(jī)游走，可能比嘗試經(jīng)典地求解積分微分方程更經(jīng)濟(jì)。這些“游走”可以在機(jī)器上方便地進(jìn)行，而在概率論中對(duì)隨機(jī)游走的處理是簡(jiǎn)化為微分方程——這個(gè)程序?qū)嶋H上做的恰好相反。

這種方法的另一個(gè)例子是，給定一組函數(shù)方程，試圖將其轉(zhuǎn)換為具有概率論或博弈論解釋的等價(jià)方程。人們?cè)谟?jì)算機(jī)上將這些等價(jià)方程進(jìn)行模擬，以表示隨機(jī)過程，所獲得的分布將對(duì)原始方程的解給出一個(gè)合理的推測(cè)。更進(jìn)一步，希望直接獲得所討論的物理系統(tǒng)行為的“同態(tài)象”。必須指出的是，在目前研究的許多物理問題中，最初通過某些理想化而獲得的微分方程，可以說(shuō)不再是神圣不可侵犯的了。至少，在計(jì)算機(jī)上直接研究這些系統(tǒng)模型可能具有啟發(fā)價(jià)值。

在戰(zhàn)爭(zhēng)末期及隨后的幾年里，馮·諾伊曼和我（即本文作者）用這種方法處理了相當(dāng)多的問題。起初，物理情景本身就直接提出了概率解釋問題。后來(lái)，研究了上面提到的第三類問題。這種數(shù)學(xué)模型的理論仍然非常不完整。特別是，對(duì)漲落和精確度的估計(jì)尚未得到發(fā)展。而在這方面，馮·諾伊曼再次貢獻(xiàn)了大量巧妙的方法，例如通過適當(dāng)博弈，產(chǎn)生給定概率分布的數(shù)列。他還設(shè)計(jì)了用于處理玻爾茲曼方程的概率模型，以及用于流體動(dòng)力學(xué)中一些嚴(yán)格確定性問題的重要隨機(jī)模型。這些工作大多分散在各種實(shí)驗(yàn)室報(bào)告中，或者仍是手稿。我們當(dāng)然希望能在不久的將來(lái)，向數(shù)學(xué)界出版經(jīng)過系統(tǒng)編纂的文集。

自動(dòng)機(jī)理論與概率邏輯

香農(nóng)（Claude E. Shannon）教授的文章《馮·諾伊曼對(duì)自動(dòng)機(jī)理論的貢獻(xiàn)》（Von Neumann's contributions to automata theory），對(duì)他在自動(dòng)機(jī)理論方面的工作做了介紹。這項(xiàng)工作，就像博弈論一樣，在過去幾年中激發(fā)了廣泛且日益擴(kuò)展的研究，在我看來(lái)，這與他最富有成效的思想并駕齊驅(qū)。在這里，他對(duì)數(shù)理邏輯、計(jì)算機(jī)、數(shù)學(xué)分析的興趣與數(shù)學(xué)物理問題的知識(shí)相結(jié)合，在新的構(gòu)建中結(jié)出碩果。圖靈（Alan Turing）、麥卡洛克（Warren McCulloch）和皮茨（Walter Pitts）關(guān)于通過電氣網(wǎng)絡(luò)（electrical networks）或理想化神經(jīng)系統(tǒng)（idealized nervous systems）表示邏輯命題的想法，啟發(fā)他提出并概述了自動(dòng)機(jī)的一般理論。這項(xiàng)理論的概念和術(shù)語(yǔ)來(lái)自幾個(gè)不同領(lǐng)域——數(shù)學(xué)，電氣工程和神經(jīng)科學(xué)。這些研究現(xiàn)在有望在數(shù)學(xué)方面取得更多的成就，也許一開始是在一個(gè)非常簡(jiǎn)化的層面上——將生物體和神經(jīng)系統(tǒng)本身的運(yùn)作形式化。

核能——在洛斯阿拉莫斯的工作

恰好在第二次世界大戰(zhàn)爆發(fā)前夕，人們發(fā)現(xiàn)了鈾原子因吸收中子，從而釋放了更多中子的裂變現(xiàn)象。許多物理學(xué)家立即意識(shí)到，大量的鈾發(fā)生指數(shù)級(jí)的反應(yīng)，會(huì)釋放巨大能量；于是，他們開始討論，定量評(píng)估這一現(xiàn)象以實(shí)現(xiàn)新能源的利用。

與數(shù)學(xué)家相比，理論物理學(xué)家形成了一個(gè)規(guī)模更小且聯(lián)系更緊密的群體，一般來(lái)說(shuō)，他們之間成果和思想的交流也更快。馮·諾伊曼在量子理論基礎(chǔ)方面的工作，使他很早就接觸到了大多數(shù)一流物理學(xué)家，他意識(shí)到了新的實(shí)驗(yàn)事實(shí)，并從一開始就參與了他們對(duì)裂變現(xiàn)象所潛藏的巨大技術(shù)可能性的推測(cè)。戰(zhàn)爭(zhēng)爆發(fā)前，他就投入到與國(guó)防問題有關(guān)的科學(xué)工作中。然而，直到1943年末，奧本海默才邀請(qǐng)他作為顧問訪問洛斯阿拉莫斯實(shí)驗(yàn)室，并開始參與以制造原子彈為最終目的工作。

眾所周知，第一個(gè)自持式（self-sustaining）核鏈?zhǔn)椒磻?yīng)是由費(fèi)米領(lǐng)導(dǎo)的一組物理學(xué)家于1942年12月2日在芝加哥實(shí)現(xiàn)的。他們建造了一個(gè)反應(yīng)堆，將鈾和一種減速物質(zhì)布置在一起，中子在其中被減速，以增加引發(fā)進(jìn)一步裂變的可能性。反應(yīng)堆規(guī)模非常大，中子數(shù)量以指數(shù)增長(zhǎng)至e倍所用的時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng)。在洛斯阿拉莫斯建立的項(xiàng)目的目標(biāo)是，在相對(duì)少量的鈾-235或钚的同位素中產(chǎn)生非常快速的反應(yīng)，從而導(dǎo)致巨大能量的爆炸性釋放。1943年春末，一個(gè)科學(xué)小組開始組建起來(lái)，到當(dāng)年秋天，大量杰出的理論和實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家在洛斯阿拉莫斯定居下來(lái)。當(dāng)馮·諾伊曼抵達(dá)這里時(shí)，小組正在研究將裂變物質(zhì)組裝達(dá)成臨界質(zhì)量的各種方法。沒有一種方案可以預(yù)先知道是否成功，其中一個(gè)問題是，要在核反應(yīng)導(dǎo)致輕度或中等程度的爆炸之前實(shí)施快速組裝，否則大部分核裝料就被浪費(fèi)了。

特勒（Edward Teller）還記得約翰尼抵達(dá)拉米（Lamy，離洛斯阿拉莫斯最近的火車站）時(shí)的場(chǎng)景，然后他被一輛公務(wù)車帶到了“山上”（the Hill，即洛斯阿拉莫斯小鎮(zhèn)，位于一處高地），當(dāng)時(shí)這里是高度保密的：

“當(dāng)他到達(dá)時(shí)，統(tǒng)籌委員會(huì)（Coordinating Council）正在開會(huì)。我們的領(lǐng)導(dǎo)奧本海默正在報(bào)告渥太華會(huì)議的情況。他的講話中提及了許多最重要的人物和同樣重要的決定，其中之一與我們密切相關(guān)：我們可以期待英國(guó)特遣隊(duì)在不久的將來(lái)來(lái)到這里。講話結(jié)束后，他詢問大家是否有任何問題或意見。觀眾對(duì)此印象深刻，沒有提出任何問題。然后奧本海默提出其他話題也可以提問。過了一兩秒鐘，一個(gè)低沉的聲音（其來(lái)源已經(jīng)消失在歷史中）說(shuō)：‘我們什么時(shí)候才能在山上找到一個(gè)鞋匠？’盡管當(dāng)時(shí)沒有與約翰尼討論任何科學(xué)問題，但他斷言，從那一刻起，他已經(jīng)完全了解了洛斯阿拉莫斯的本質(zhì)?！?/p>

當(dāng)時(shí)的工作氣氛非常熱烈，與技術(shù)或工程實(shí)驗(yàn)室相比，這里不拘于形式，具有探索性質(zhì)，因此更像大學(xué)中的研討會(huì)，可以說(shuō)，是一種科學(xué)討論的抽象風(fēng)格。我清楚地記得，一到洛斯阿拉莫斯時(shí)，我就驚訝地發(fā)現(xiàn)，這里的環(huán)境讓人想起一群數(shù)學(xué)家在討論他們抽象的猜想，而不是工程師研究一個(gè)定義明確的實(shí)際項(xiàng)目——討論經(jīng)常非正式地進(jìn)行，直到深夜。從科學(xué)上講，這種情況的一個(gè)顯著特征是所遇問題的多樣性，每個(gè)問題對(duì)項(xiàng)目的成功都同樣重要。例如，數(shù)量呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)的中子在空間和時(shí)間上的分布問題；同樣重要的問題包括，原子彈內(nèi)核裝料裂變導(dǎo)致的持續(xù)增加的能量沉積問題，爆炸中的流體動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)的計(jì)算；輻射形式的能量的分布；最后還有，原子彈失去臨界狀態(tài)后周圍材料的運(yùn)動(dòng)過程。理解所有這些所涉及數(shù)學(xué)領(lǐng)域極為不同的問題至關(guān)重要。

這里不可能詳細(xì)介紹馮·諾伊曼的貢獻(xiàn)。我將嘗試指出一些相對(duì)重要的方面。1944年初，我們考慮了一種內(nèi)爆（implosion）方法，用于可裂變物質(zhì)的組裝。這個(gè)過程涉及到對(duì)核裝料的球面沖擊，對(duì)其進(jìn)行壓縮。馮·諾伊曼、貝特（Hans Bethe）和特勒是最早認(rèn)識(shí)到這一方案具有優(yōu)勢(shì)的人。特勒向馮·諾伊曼講述了內(nèi)德梅耶（Seth Neddermeyer）的實(shí)驗(yàn)工作，然后他們合作研究出這種球面幾何的基本結(jié)果。馮·諾伊曼得出的結(jié)論是，這種方法可以產(chǎn)生極大的壓力，并且在討論中還弄清楚了，巨大的壓力也會(huì)帶來(lái)相當(dāng)大的壓縮。為了以足夠?qū)ΨQ的方式開始內(nèi)爆，必須同時(shí)從多點(diǎn)引爆以傳遞至內(nèi)部的高爆炸藥。塔克（James Tuck）和馮·諾伊曼建議使用高爆透鏡以輔助實(shí)現(xiàn)。

我們之前提到過馮·諾伊曼與物理學(xué)家交流的能力，他理解物理學(xué)家的語(yǔ)言，幾乎能立即將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)家熟悉的形式，這種能力也許在數(shù)學(xué)家中非常罕見。然后，他還可以將答案翻譯回物理學(xué)家常用的表達(dá)方式。

第一次嘗試計(jì)算內(nèi)爆引起的運(yùn)動(dòng)，是極為示意性的。人們對(duì)所涉及的核裝料的狀態(tài)的方程知之甚少，但即使通過粗略的數(shù)學(xué)近似，也會(huì)導(dǎo)出一些方程，而對(duì)它們的求解也明顯超過了精確解析方法的范圍。很明顯，為了獲得正確的定量結(jié)果，必須進(jìn)行大量繁瑣的數(shù)值工作，而這時(shí)計(jì)算機(jī)作為必要的輔助工具出現(xiàn)了。

一個(gè)更為復(fù)雜的問題是核爆炸特性的計(jì)算。其中釋放的能量取決于向外運(yùn)動(dòng)的過程，當(dāng)然，這些運(yùn)動(dòng)受以下因素約束：能量沉積率、材料的熱力學(xué)性質(zhì)以及極高溫度下產(chǎn)生的輻射等。對(duì)于第一次實(shí)驗(yàn)，人們也只能對(duì)近似計(jì)算感到滿意；正如前文所述，如果沒有計(jì)算機(jī)的復(fù)雜計(jì)算，即使是數(shù)量級(jí)也不容易估計(jì)。戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)束后，對(duì)于計(jì)算機(jī)的使用，為了節(jié)省資源并最大限度地利用，人們提出需要用其做更精確的計(jì)算。馮·諾伊曼對(duì)被考慮的物理問題的數(shù)學(xué)處理做出了很大貢獻(xiàn)。

在戰(zhàn)爭(zhēng)期間，研究人員已經(jīng)考慮了熱核（thermonuclear）反應(yīng)的可能性，最初只是做了一些討論，然后進(jìn)行了初步計(jì)算。作為一個(gè)富有想象力的小組的成員，馮·諾伊曼在其中非常活躍，他們考慮了大規(guī)模實(shí)現(xiàn)這種反應(yīng)的各種方案。在數(shù)學(xué)上，處理這種反應(yīng)所必需的條件和其過程所涉及的問題，甚至比裂變爆炸的問題更復(fù)雜（實(shí)際上，理解裂變爆炸的性質(zhì)是探究熱核反應(yīng)的先決條件）。在一次討論中，我們概述了這種計(jì)算的過程，馮·諾伊曼轉(zhuǎn)過身來(lái)對(duì)我說(shuō)：“我們?cè)趫?zhí)行計(jì)算中所做的基本算術(shù)運(yùn)算，也許比人類迄今所做運(yùn)算的總數(shù)還要多。”不過，我們注意到，世界上學(xué)齡兒童在幾年內(nèi)所做乘法的總數(shù)，就已經(jīng)明顯的超過了我們的問題！

由于篇幅有限，我無(wú)法列舉馮·諾伊曼無(wú)數(shù)多個(gè)較小的技術(shù)貢獻(xiàn)，但它們很受從事這個(gè)項(xiàng)目的物理學(xué)家和工程師的歡迎。

馮·諾伊曼非常擅長(zhǎng)在不使用筆紙的情況下，在頭腦中進(jìn)行尺度估計(jì)以及代數(shù)和數(shù)值計(jì)算。這種能力，也許有點(diǎn)類似于蒙著眼睛下棋的天賦，常常給物理學(xué)家留下深刻的印象。我的印象是，馮·諾伊曼并沒有將所考慮的物理對(duì)象形象化，而是將它們的性質(zhì)視為基本物理假設(shè)的邏輯結(jié)果，他可以把這種演繹推理玩得出神入化！

馮·諾伊曼個(gè)人的科學(xué)風(fēng)格有一個(gè)很大的特點(diǎn)，就是愿意用心傾聽，即使那些問題沒有太多科學(xué)意義，但謎題只要能體現(xiàn)一種組合性的吸引力，他就會(huì)給予關(guān)注。這使他博得了那些從事數(shù)學(xué)技術(shù)應(yīng)用的人的喜歡與追捧。許多與他交談的人都得到了積極的幫助或安慰，因?yàn)樗麄冎?，?shù)學(xué)中沒有什么魔法——能讓人輕松地解決他們的問題。馮·諾伊曼無(wú)私地參與了可能數(shù)量過多、門類過廣的活動(dòng)，這些活動(dòng)可能對(duì)數(shù)學(xué)洞察力有用（這些活動(dòng)在當(dāng)今的技術(shù)發(fā)展中越來(lái)越普遍），但也對(duì)他的時(shí)間提出了嚴(yán)峻的要求。在第二次世界大戰(zhàn)結(jié)束后的幾年里，他發(fā)現(xiàn)自己幾乎每時(shí)每刻都在為各種相互矛盾的要求而糾結(jié)。

馮·諾伊曼堅(jiān)信，核能的釋放所引發(fā)的技術(shù)革命，將給人類社會(huì)，特別是給科學(xué)發(fā)展，帶來(lái)比人類歷史上任何技術(shù)發(fā)現(xiàn)都更為深刻的變化。他告訴我，在他非常年輕的時(shí)候就相信，在有生之年核能會(huì)被開發(fā)出來(lái)，并改變?nèi)祟惢顒?dòng)的秩序，這是他為數(shù)不多的幾次談到自己的幸運(yùn)猜測(cè)的例子之一。

他積極參與了關(guān)于受控?zé)岷朔磻?yīng)可能性的早期設(shè)想和審議。1954年，他成為原子能委員會(huì)的一員，致力于解決與裂變反應(yīng)堆的建造和運(yùn)行有關(guān)的技術(shù)和經(jīng)濟(jì)問題。在這個(gè)職位上，他還花了很多時(shí)間來(lái)組織數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)的研究，并設(shè)法將它們提供給大學(xué)和其他研究中心。

馮·諾伊曼的數(shù)學(xué)旅途

馮·諾伊曼在數(shù)學(xué)領(lǐng)域留下了如此多的永恒印記，我們只對(duì)他這方面的工作進(jìn)行粗略瀏覽，又零星介紹了他在其他多個(gè)領(lǐng)域的成就，這可能會(huì)引發(fā)這樣一個(gè)問題：他的工作中是否有一條連續(xù)的脈絡(luò)?

正如龐加萊所說(shuō)：“有些問題是我們自己?jiǎn)柕?，有些問題是自然出現(xiàn)的。（Il y a des problèmes qu'on se pose et des problèmes qui se posent。）”現(xiàn)在，在偉大的法國(guó)數(shù)學(xué)家提出這種模糊區(qū)別的50年后，數(shù)學(xué)問題中的這種劃分已經(jīng)更尖銳地體現(xiàn)出來(lái)。數(shù)學(xué)家們所考慮的對(duì)象，更多是他們自己的自由創(chuàng)造，可以說(shuō)，通常是對(duì)先前構(gòu)造的特殊推廣。這些理論有時(shí)最初是受到物理圖景的啟發(fā)，而另一些則從自由的數(shù)學(xué)創(chuàng)造中演化而來(lái)——在某些情況下，預(yù)示了物理關(guān)系的實(shí)際模式。馮·諾伊曼的思想顯然受到這兩種傾向的影響。他的愿望是，盡可能讓金字塔式的數(shù)學(xué)構(gòu)造，與物理和其他科學(xué)中不斷增長(zhǎng)的復(fù)雜性保持聯(lián)系，而這種聯(lián)系現(xiàn)在越來(lái)越難以捉摸。

18世紀(jì)一些偉大的數(shù)學(xué)家，特別是歐拉，成功地將許多自然現(xiàn)象的描述納入數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域。馮·諾伊曼的工作，試圖讓由集合論和現(xiàn)代代數(shù)發(fā)展的數(shù)學(xué)扮演類似的角色。當(dāng)然，在今天，這是一項(xiàng)困難得多的任務(wù)。在19世紀(jì)的大部分時(shí)間里，無(wú)窮小演算（infinitesimal calculus，即微積分的早期說(shuō)法）和隨后數(shù)學(xué)分析的發(fā)展，不僅僅能為因物理學(xué)發(fā)現(xiàn)而打開的潘多拉盒子之內(nèi)容編目，也有希望理解真正理解這些內(nèi)容。這種希望現(xiàn)在是虛幻的，僅僅是因?yàn)闅W幾里得空間的實(shí)數(shù)系統(tǒng)——在代數(shù)上，甚至只在拓?fù)鋵W(xué)上——都不能再聲稱其是物理理論唯一的，甚或最好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。19世紀(jì)的物理思想，在數(shù)學(xué)上由微分和積分方程以及解析函數(shù)理論主導(dǎo)，現(xiàn)在這些已經(jīng)不夠用了。新的量子理論在解析方面需要集合論的更一般的觀點(diǎn)，其原始概念本身就涉及概率分布和無(wú)限維函數(shù)空間。而與此相對(duì)應(yīng)的代數(shù)則涉及到組合和代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究，比僅用實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)表示的結(jié)構(gòu)更一般。因此要理解這些數(shù)學(xué)，人們可以運(yùn)用康托集合論，以及由希爾伯特、外爾（Hermann Weyl）、諾特（Emmy Noether）、阿廷（Emil Artin）和布勞威爾（Richard Brauer）等人發(fā)展一整套復(fù)雜思想，而馮·諾伊曼的工作這時(shí)應(yīng)用而生。

另一項(xiàng)啟發(fā)普通數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)容是一種新的組合分析，源于最近的生物科學(xué)的基礎(chǔ)性研究。在這方面，目前缺乏通用的方法的狀況更加明顯了。這些問題本質(zhì)上是非線性的，并且具有極其復(fù)雜的組合特征?？磥?lái)，在人們希望獲得決定性的綜合理論所需的洞察力之前，還需要許多年的實(shí)驗(yàn)和啟發(fā)式研究。正是意識(shí)到這一點(diǎn)，馮·諾伊曼在過去十年中將大量精力投入到計(jì)算機(jī)器的研究和建造中，并為自動(dòng)機(jī)的研究制定了初步大綱。

回顧馮·諾伊曼的工作，看看它們分支如此眾多、延伸廣闊，人們可以像希爾伯特那樣說(shuō)：“人們不禁會(huì)問自己，數(shù)學(xué)科學(xué)是否會(huì)像其他科學(xué)長(zhǎng)期以來(lái)的情況那樣，結(jié)束于被分割為各自孤立的部分，它們的代表人物（研究人員）幾乎無(wú)法理解彼此，它們的關(guān)系將繼續(xù)減少？我不這么認(rèn)為，也不希望這樣；數(shù)學(xué)科學(xué)是一個(gè)不可分割的整體，是一個(gè)有機(jī)體，其生命力正是在于其各部分無(wú)法分離。無(wú)論我們的科學(xué)門類在其細(xì)節(jié)上有多么的多樣化，我們?nèi)匀槐贿壿嬤^程的對(duì)等性、整個(gè)科學(xué)中思想的關(guān)系以及不同領(lǐng)域中無(wú)數(shù)的類比所震撼……”36馮·諾伊曼的工作正是對(duì)數(shù)學(xué)的普適性和有機(jī)統(tǒng)一的理想做出了貢獻(xiàn)。

（編者注：原文最后一部分是介紹馮·諾伊曼的部分榮譽(yù)和擔(dān)任過的職務(wù)，以及作者烏拉姆整理的論文列表。如有需要可閱讀原文。）

注釋

1.譯者注：馬爾薩斯（Thomas Robert Malthus，1766 -1834），英國(guó)教士、人口學(xué)家、政治經(jīng)濟(jì)學(xué)家，以其人口理論聞名于世。

2.[7]Uber die Grundlagen der Quantenmechanik. With D. Hilbert and L. Nordheim. Math. Ann. vol. 98 (1927) pp. 1-30.

3.譯者注：諾德海姆（Lothar Wolfgang Nordheim，1899-1985），德裔美籍物理學(xué)家，對(duì)量子理論、核物理、粒子物理均有貢獻(xiàn)。

4.有關(guān)原子現(xiàn)象的非相對(duì)論量子理論公理化現(xiàn)狀，有一篇出色的簡(jiǎn)明總結(jié)，請(qǐng)參閱George Mackey的文章Quantum mechanics and Hilbert space, Amer. Math. Monthly, October, 1957, 并且仍然主要基于馮·諾伊曼的書《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》。

5.Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik, Nachr. Ges. Wiss. G?ttingen (1927) pp. 245-272.

6.這里不可能總結(jié)所涉及的數(shù)學(xué)論證。絕大多數(shù)物理學(xué)家仍然同意馮·諾伊曼的提議。這并不是說(shuō)，與目前量子力學(xué)的數(shù)學(xué)表述不同的理論不允許隱變量存在。有關(guān)最近的討論，請(qǐng)參閱科斯頓文集（第9卷），這是1957年4月1日至4月4日在布里斯托爾大學(xué)舉行的科爾斯頓研究學(xué)會(huì)（Colston Research Society）第九屆研討會(huì)的會(huì)議記錄，其中有玻姆（David Bohm），羅森菲爾德（Léon Rosenfeld）等人的討論。

7.[33]über einen Hilfssatz der Variationsrechnung, Abh. Math. Sem. Hansischen Univ. vol. 8 (1930) pp. 28-31.

8.譯者注：Tibor Radó（1995-1965），匈牙利數(shù)學(xué)家，以解決Plateau問題而聞名。

9.[41]Proof of the quasi-ergodic hypothesis, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. vol. 18(1932) pp. 70-82.

10.庫(kù)普曼（Bernard Osgood Koopman，1900-1981），法裔美籍?dāng)?shù)學(xué)家，以遍歷理論、概率論、統(tǒng)計(jì)理論和運(yùn)籌學(xué)的基礎(chǔ)工作而聞名。美國(guó)運(yùn)籌學(xué)學(xué)會(huì)的創(chuàng)始成員和第六任主席。

11.譯者注：度量可遞性質(zhì)（Metric transitivity），可參考
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Metric_transitivity

12.[56]On compact solutions of operational-differential equations. I. With S. Bochner. Ann. of Math. vol. 36 (1935) pp. 255-291.

13.[80]Fourier integrals and metric geometry. With I. J. Schoenberg. Trans. Amer. Math. Soc. vol. 50 (1941) pp. 226-251.

14.[86]Approximative properties of matrices of high finite order, Portugaliae Mathematica vol. 3 (1942) pp. 1-62.

15.[91]Solution of linear systems of high order. With V. Bargmann and D, Montgomery. Report prepared for Navy BuOrd under Contract Nord-9596-25, Oct. 1946, 85 pp.

16.[94]Numerical inverting of matrices of high order. With H. H. Goldstine. Bull. Amer. Math. Soc. vol. 53 (1947) pp. 1021-1099.

17.[109]Numerical inverting of matrices of high order, II. With H. H. Goldstine. Proc. Amer. Math. Soc. vol. 2 (1951) pp. 188-202.

18.Kuhn, H. W., & Tucker, A. W. (1958). John von Neumann’s work in the theory of games and mathematical economics. Bulletin of the American Mathematical Society, 64(3), 100–123. doi:10.1090/s0002-9904-1958-10209-8

19.[17]Zur Theorie der esellschaftsspiele, Math. Ann. vol. 100 (1928) pp. 295-320.

20.[72]über ein ?konomisches Gleichungssystem und eine Verallgemeinerung Brouwerschen Fixpunktsatzes, Erg. eines Math. Coll., Vienna, edited by K. Menger, vol. 8, 1937, pp. 73-83.

21.[102]Solutions of games by differential equations. With G. W. Brown, "Contributions to the Theory of Games,n Ann. of Math. Studies, no. 24, Princeton University Press, 1950, pp. 73-79.

22.[113]A certain zero-sum two-person game equivalent to the optimal assignment problem. "Contributions to the Theory of Games,* Vol. II, Ann. Of Math. Studies, no. 28, Princeton University Press, 1953, pp. 5-12.

23.[114]Two variants of poker. With D. G. Gillies and J. P. Mayberry. "Contributions to the Theory of Games," Vol. II. Ann. of Math. Studies, no. 28, Princeton University Press 1953, pp. 13-50.

24.[90]Theory of games and economic behavior. With O. Morgenstern. Princeton University Press (1944, 1947, 1953) 625 pp.

25.譯者注：亞伯拉罕·瓦爾德（Abraham Wald，1902-1950），羅馬尼亞裔美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家。二戰(zhàn)時(shí)在戰(zhàn)機(jī)損傷問題中考慮了幸存者偏差問題。

26.譯者注：里奧尼德·赫維克茲（Leonid Hurwicz,1917-2008），2007年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主，開創(chuàng)了機(jī)制設(shè)計(jì)理論。

27.American Economic Review vol. 35 (1945) pp. 909-925.

28.譯者注：雅各布?馬爾沙克（Jacob Marschak）經(jīng)濟(jì)學(xué)家，西方信息經(jīng)濟(jì)學(xué)創(chuàng)始人之一。1959年，他發(fā)表《信息經(jīng)濟(jì)學(xué)家評(píng)論》一文，標(biāo)志著信息經(jīng)濟(jì)學(xué)的誕生。

29.Journal of Political Economy vol. 54 (1946) pp. 97-115.

30.[84]The statistics of the gravitational field arising from a random distribution of stars, I. With S. Chandrasekhar. The Astrophysical Journal vol. 95 (1942) pp. 489-531.

31.[88]The statistics of the gravitational field arising from a random distribution of stars. II. The speed of fluctuations', dynamical friction*, spatial correlations. With S. Chandrasekhar. The Astrophysical Journal vol. 97 (1943) pp. 1-27.

32.[108]Discussion of the existence and uniqueness or multiplicity of solutions of theaerodynamical equations (Chapter 10) of the Problems of Cosmical Aerodynamics, Proceedings of the Symposium on the Motion of Gaseous Masses of Cosmical Dimensions held at Paris, August 16-19, 1949. Central Air Doc. Office, 1951, pp. 75-84.

33.[100]A method for the numerical calculation of hydrodynamic shocks. With R. D. Richtmyer. Journal of Applied Physics vol. 21 (1950) pp. 232-237.

34.查尼（Jule Charney）和他在氣象學(xué)問題上合作密切，可參考[104]Numerical integration of the barotropic vorticity equation. With J. G. Charney and R. Fjortoft. Tellus 2 (1950) pp. 237-254.

35.[120]Can we survive technology?, Fortune, June, 1955.

36.譯者注：借用了莎士比亞《暴風(fēng)雨》的臺(tái)詞“the great globe itself”。

37.譯者注：ENIAC，全稱為Electronic Numerical Integrator And Computer，即電子數(shù)字積分計(jì)算機(jī)，于1946年2月14日在美國(guó)宣告誕生。ENIAC是繼ABC（阿塔納索夫-貝瑞計(jì)算機(jī)）之后的第二臺(tái)電子計(jì)算機(jī)和第一臺(tái)通用計(jì)算機(jī)。它是完全的電子計(jì)算機(jī)，能夠編程，解決各種計(jì)算問題。

38.譯者注：關(guān)于閉合解，可參見
https://mathworld.wolfram.com/Closed-FormSolution.html

39.Hubert: Problèmes futurs des Mathématiques, Comptes-Rendus, 2ème Congrès International de Mathématiques, Paris, 1900.

本文基于知識(shí)創(chuàng)作共享許可協(xié)議（CC BY-NC 4.0），譯自S. Ulam, John von Neumann 1903-1957, Bull. Amer. Math. Soc. 64 (1958), 1-49，原文鏈接：

https://www.ams.org/journals/bull/1958-64-03/S0002-9904-1958-10189-5/S0002-9904-1958-10189-5.pdf

出品：科普中國(guó)

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