每一枚鳥蛋，都能在這個數(shù)學公式里找到

環(huán)球科學

09.08

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圖片來源：pixabay

雞蛋人人都會畫，不過為這種形狀找到數(shù)學描述卻不是件容易的事。能不能寫出一個通用的數(shù)學公式，來還原任何一個雞蛋的幾何形狀？而在雞蛋之外，其他鳥蛋的形狀更是五花八門，如何從數(shù)學上描述這些形狀，以及這些形狀從何而來，一直吸引著科學家們探索……

撰文 | 白德凡

審校 | 吳非

“卵形”是什么

世界上沒有兩片相同的樹葉，世界上也沒有兩個相同的雞蛋。但是比起樹葉，不同的雞蛋看上去似乎更相似一些。在畫雞蛋的時候，任何人都會畫成一頭大一頭小的不對稱橢圓形，仿佛雞蛋就是照著這樣的模板長出來的?？墒沁@個模板真的存在嗎？換句話說，所有的雞蛋真的長著同一種形狀嗎？

我們習慣于把雞蛋的形狀叫做“卵形”（ovoid），然而卵形并不像圓形、橢圓形等在數(shù)學上有明確的定義，它只是泛指一大類看起來像雞蛋的幾何形狀。工程師根據(jù)需要可以設計出特定的卵形，物理學家也可以給出一些物理現(xiàn)象中出現(xiàn)的卵形的數(shù)學表達式，但這些公式不見得能反映現(xiàn)實中雞蛋的形狀。所以當我們把雞蛋的形狀叫做“卵形”時，我們其實并沒有明確回答雞蛋是什么形狀。

解答這個問題的關鍵在于，為雞蛋找到一個通用的數(shù)學描述。對于現(xiàn)實中任何一個雞蛋，如果我們只需要測量幾個參數(shù)，代入公式就能還原出這個雞蛋的幾何形狀，那我們才能說確定了雞蛋的形狀。

研究雞蛋的形狀不只是出于好玩，它還在許多領域有應用的潛力。例如，知曉雞蛋形狀的數(shù)學描述后，我們可以方便地計算雞蛋的體積和表面積，而這對于蛋的孵化和品質(zhì)評級有指導意義。再比如，雞蛋以極少的耗材承受住巨大的荷載，這個特性啟發(fā)了建筑學和仿生學界的研究人員，而描述雞蛋形狀的通用數(shù)學公式可以幫助他們更好地完成設計。因此，雞蛋的形狀其實是個嚴肅的學術問題，一直吸引著數(shù)學家、工程師和生物學家來研究。

早在1948年，德國工程師弗里茨·許格爾舍費爾（Fritz Hügelsch?ffer）就設計過一種卵形。這種卵形基于橢圓形變化而來，引入了一個參數(shù)來表示卵形的最寬處離長度一半處的距離。這個參數(shù)為零時，意味著卵形最寬處剛好位于長度的一半，卵形就退化成標準橢圓形。由此，許格爾舍費爾給出的公式可以描述從卵形到橢圓形的連續(xù)變化。

按許格爾舍費爾模型，一個長度為L，寬度為B的雞蛋的二維投影輪廓。圖中w為雞蛋最寬處到蛋長一半處的距離。

（圖片來源：V. G. Narushin, M. N. Romanov, G. Lu, et al. Biosystems Engineering, 2020,197:45-55.）

在2020年的一項研究中，研究人員從眾多卵形中相中了許格爾舍費爾的設計。他們將相應的數(shù)學表達式略作修改，使之能用到雞蛋的測量上，然后應用公式計算了40個雞蛋的二維投影輪廓、體積和表面積，并和真實測量結(jié)果相比較，結(jié)果吻合良好。這意味著，我們可能找到了雞蛋形狀的一種通用數(shù)學描述。利用許格爾舍費爾的公式，對任一雞蛋，我們只需測量三個參數(shù)——長度、寬度、最寬處離蛋長一半處的距離，就可以還原出這個雞蛋的幾何形狀。

不像雞蛋的鳥蛋

在對雞蛋形狀進行探索的同時，一些研究人員把眼界放得更廣，他們關注的是所有鳥類的蛋。自然界中鳥蛋的形狀千奇百怪，遠不是卵形這一種形狀能概括的：鴯鹋、寬尾煌蜂鳥（Selasphorus platycercus）的蛋是典型的扁長橢球形；鴕鳥、長尾林鸮（Strix uralensis）的蛋則沒有那么扁長，非常接近球形；而許多海鳥和涉禽，例如崖海鴉（Uria aalge）、美洲小濱鷸（Calidris minutilla）、黑額鸻（Elseyornis melanops）等等，它們的蛋呈現(xiàn)出一頭尖一頭鈍的梨形。既然描述雞蛋形狀的數(shù)學公式已經(jīng)找到了，可不可以再找到對所有鳥蛋形狀適用的數(shù)學公式呢？

不同鳥蛋的形狀分布情況。其中橫坐標表示鳥蛋的不對稱程度，縱坐標表示鳥蛋的扁長程度。分布在左下方的鳥蛋接近球形，左上方的接近橢球形，右上方的接近梨形。

（圖片來源：Stoddard et al., Science, 2017,?356:1249–1254）

球形和橢球形鳥蛋比較好處理，因為這兩種形狀有明確的數(shù)學定義，另外它們也可以從雞蛋的卵形變化而來。前文提到過，許格爾舍費爾卵形公式可以描述從卵形到橢圓形的連續(xù)變化，而橢圓形在長軸和短軸相等時又會退化成圓形。因此許格爾舍費爾卵形公式適用于從圓形到橢圓形再到卵形的所有形狀，也就可以描述球形、橢球形、卵形三類鳥蛋的二維投影輪廓。問題難在梨形鳥蛋，這類鳥蛋比雞蛋更不對稱，一端更尖，另一端更鈍，看起來更像是去掉了棱角的的圓錐形。許格爾舍費爾的公式并不能很好地描述梨形鳥蛋的二維投影輪廓。

而在上個月發(fā)表的一篇論文中，研究人員解決了梨形鳥蛋的數(shù)學描述問題。他們用的依然是許格爾舍費爾的公式，但是只用了一半：只用這個公式描述梨形鳥蛋鈍的一端。而對于尖的那一端，研究人員采用了拋物線去擬合，然后通過大量計算實現(xiàn)這兩部分的平滑過渡，最終得到了一個推廣的許格爾舍費爾公式。

研究人員用推廣的許格爾舍費爾公式還原出了（A）厚嘴崖海鴉、（B）斑腹沙錐、（C）王企鵝的梨形鳥蛋的二維投影輪廓。

（圖片來源：Narushin et al. Ann. N. Y. Acad. Sci. 1, 2021: 1–9）

在使用這個公式時，我們需要測量鳥蛋的四個參數(shù)：除了長度、寬度、最寬處離蛋長一半處的距離外，還需要額外測量距離鳥蛋尖端四分之一蛋長處的寬度。有了這四組參數(shù)，研究人員利用這個公式成功地還原了幾種梨形鳥蛋的二維投影輪廓。由于這個公式可以描述梨形-卵形-橢圓形-圓形的連續(xù)變化，在驗證了它對梨形鳥蛋的適用性后，我們也就知道它適用于任何形狀的鳥蛋。這意味著，我們可能找到了鳥蛋形狀的一種通用數(shù)學描述。

?用數(shù)學公式來描述蛋的形狀。| 圖片來源：Narushin et. al. / Annals of the New York Academy of Sciences

這個新的通用的數(shù)學公式基于4個參數(shù)提出的，它們是：蛋的長度（L）、最大寬度（B），縱軸的位移（w），在蛋長的1/4處的直徑（DL/4）。

（圖片來源：Narushin et al.?Ann. N. Y. Acad. Sci.?1, 2021: 1–9）

什么決定了鳥蛋的形狀

到現(xiàn)在為止，我們只回答了鳥蛋形狀“是什么”的問題，接下來我們自然會追問“為什么”：鳥蛋為什么會有這么多的形狀？

對于這個問題，許多科學家習慣從演化的角度分析，不同的形狀也許賦予了鳥蛋不同的適應性功能。例如，海鳥多在陡峭的崖壁上筑巢，而梨形的蛋滾動起來容易以尖頭為中心原地打轉(zhuǎn)，可以避免從高處滾落。也有人推測，不同形狀的鳥蛋擁有不同的孵化效率，有可能是對巢穴規(guī)模的適應結(jié)果。還有人認為，梨形鳥蛋在鈍的一端給了氣孔更大的空間，有助于幼鳥的發(fā)育，因而更適合早成鳥。

為了檢驗這些五花八門的假說，2017年的一項研究調(diào)查了約1400種鳥類的近5萬枚蛋。研究人員用貝葉斯系統(tǒng)發(fā)育混合效應模型（Bayesian phylogenetic mixed-effect model）模擬出各假說下每種鳥蛋的最優(yōu)尺寸和形狀，然后統(tǒng)計實際鳥蛋的尺寸和形狀分布。二者一經(jīng)比較，研究人員得出一個意外的結(jié)論：鳥蛋的形狀與孵化環(huán)境、巢穴規(guī)模、幼鳥發(fā)育模式等因素都沒有明顯關聯(lián)。唯一一個有明顯關聯(lián)的因素是成鳥的飛行能力：越擅長飛行的鳥類越傾向于產(chǎn)下扁長的、不對稱的蛋。

研究人員推測，鳥類的一些適應飛行的特征——包括流線型體型、較小的腹腔、退化的卵巢和輸卵管等——可能對鳥蛋形狀產(chǎn)生相當大的影響。例如，為了高效飛行，雌鳥犧牲了輸卵管的寬度，而為了在有限的寬度下保持足夠的體積，鳥蛋需要長成扁長的，或不對稱的形狀。

這個研究結(jié)果啟發(fā)我們，能不能建立一個生物物理學模型，描述蛋和輸卵管之間的相互作用，并給出這些相互作用塑造出的鳥蛋形狀？這樣我們對鳥蛋形狀的理解就不僅僅停留在數(shù)學擬合上。擬合出鳥蛋形狀的通用公式，是一種唯象的處理方法，這個數(shù)學公式并不能告訴我們鳥蛋長成如此形狀的原因。而只有從物理角度給出了鳥蛋的成型模型，我們才能說徹底理解了鳥蛋形狀。而這個工作，需要交給未來的科學家繼續(xù)探索了。

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